健壯性設計是質量工程中一種重要的方法。從這個概念出發，基于產品健壯性設計理論，結合有限元分析和 優化設計技術，考慮多種工況，對地磅結構進行優化設計。

地磅產品是應用十分廣泛的大型計量設備，主要由承重 的秤臺體和傳感器等測量系統兩部分組成。其中秤臺承受被 稱物體的質量，占地磅總質量的主要部分。由于沒有合適的 理論計算公式，秤臺結構設計主要靠經驗類比和簡化計算，因 而無法對地磅產品鋼結構進行優化設計。

通常經優化設計算法迭代得到的理論最優解，往往處于多 個約束邊界上。如果產品受到內部或外部變異的影響,則該最 優點會發生偏移,甚至變成不可行解。討論與有限元分析相結 合建立地磅秤臺結構優化設計模型，根據產品健壯性設計理 論，考慮多種工況對秤臺的U型鋼的截面形狀進行優化，既合 理有效利用材料,又保證設計的健壯性。

1.地磅結構分析和優化模型

1.1地磅秤臺的結構形式、特點

以3mX 12 m/40 t雙臺面秤臺為例，其秤臺實際由兩塊3mX 6 m臺面組合而成。每個臺面僅由其四角支承在測量傳感 器上，承受總工作載荷的一半。汽車停在秤臺面上的位置是隨 機的，設計時需要確定其典型的最不利工作位置。根據實際情 況確定汽車在秤臺面上停放的不利位置是汽車剛駛上秤臺或 停在臺面中央。地磅形狀和車輪荷載作用位置如圖1所示.

秤臺結構由臺面、U型鋼和兩端的端板組成，均為鋼板制 作。U型鋼共7根沿縱向布置對臺面起加強筋的作用。端板 則保持臺面橫向剛度。根據設計要求選定的典型工作位置是: 縱向位置x = 140 mm和2 400 mm,以及橫向位置= 130 mm 和600 mm,組合成總計4種工況。

1.2秤臺結構的計算模型

整個地磅秤臺有限元模型如圖2所示。模型的詳細情況。

（1）秤臺由厚度不同的鋼板組成。計算模型全部使用板殼 單元，共有42 806個節點,板殼單元數量43 764個，因此計算規模較大。

（2）地磅設計軸載為40t,因此，作用在一個臺面上的載 荷為20 t設計時考慮動載荷系數B=1.3。

(3)在建立秤臺的數學模型時，以U形鋼的截面尺寸、端板 厚度作為設計變量，因這些變量對整個地磅的性能有較大的 影響。至于臺面板厚度雖然對地磅強度和重量影響很大，但 其板厚的選取并非完全取決于其機械性能，因此，在這里僅作 為設計的給定參數。

(4)以秤臺的質量G作為設計目標，以秤臺的強度、剛度、 工藝要求和設計的健壯性作為約束條件,建立優化模型。

1.3優化的數學模型

優化設計問題可以描述為以下數學形式：

2.健壯性設計方法

大多數約束優化設計問題中，最優點都位于可行域的邊界 上。這意味著設計參數只要出現很小的擾動，如在產品設計完 成進入制造和使用階段時，由于制造技術、加工工藝、外載荷等 一系列不確定因素影響，可能會出現性能上大的變化，都可能 使最優點移動到可行域外,造成設計失效。為了避免這個問題, 必須使最優設計對設計變量的擾動不敏感。同樣地，為了避免 最優目標函數值發生意外的變化，必須使目標函數在約束條件 下的敏感性最小。設計出對外部環境不敏感產品的過程稱為健 壯性設計,使產品具有抵抗外界干擾所引起的功能波動的能 力,正是健壯性設計的目標。基于健壯性的產品開發方法，能夠 同時或分別處理以下兩種類型的問題：

使系統中的不可控因素y的變異，引起的系統性能變 異極小化；

使系統中的可控因素x的變異，引起的系統性能變異 極小化。

2.1 健壯性設計的主要途徑

Pm-kinson將工程模型的健壯性分為兩類：可行度健壯 性(確保設計約束即使在有變異的情況也能滿足）和靈敏度健 壯性（減少設計對變異的靈敏度)，在任何一種設計中，都希望 能使設計達到其中的一種健壯性或兩種都滿足。在定量設計階 段,設計者已經完成了概念設計，并已開發出工程模型。用優化 問題來表達定量設計問題,其數學模型為： 

Pm-kinson指出健壯設計的核心同樣是一個優化問題,健壯 設計的一個關鍵概念是變量和參數的變異傳遞給了設計函數, 使目標和約束都產生變異。健壯設計的目的是減小所誘發的變 異。對于工程模型，采用較多的有下面六種健壯設計方法:

(1)公差盒方法（Tolerance Box Appioach)。

找到名義最優值后，對設計變量定義一個公差盒那么健 壯最優值是使公差盒位于可行域中時，離名義最優值最近的那 一點,見圖3a其優點是使問題線性化在優化設計中容易操 作;但缺點是不能考慮不可控參數公差的影響，因公差盒僅僅定義在可行域內部。

（2）傳遞變異法(Method of Transmitted Variation)這種方法用一階和二階逼近式來估算傳遞變異所產生的 效果。然后考慮傳遞變異來修正名義設計以滿足可行度健壯 性，或使傳遞變異最小化來實現靈敏度健壯性。該方法先從優 化問題中得出名義最優值（不考慮變異)，然后考慮傳遞變異進 行約束條件轉換，可得可行度健壯性,見圖3b。對于靈敏度健壯 性，需要在待求問題中加入對傳遞變異求極小值作為新的目標 函數。在求解優化問題過程中應用這種方法時，可以根據約束 的實際情況，向可行域內調整優化約束值，縮小優化模型的可 行域達到這一目的。

（3）優化后分析(Post Optimality Analysis ——POA)

對最優函數或變量求導數來研宄最優解對于象容差這樣

小變化的響應。這種方法比起對問題的多次重新優化要有效得 多，尤其是想檢查單個變量對多個參數的作用時。

（4）參數約束(Pa-ametric Constrains)。

目標函數中的一些參數受到一定范圍的約束。對于最壞情 況的健壯最優解可由下列兩種方法得到用一組約束來代替 參數約束,這些約束的和是參數約束；.把參數計算放入循環 中，用一個約束條件來確定范圍。缺陷是同樣僅適合于小容差 問題，且計算量大。

（5）隨機優化。

實際問題中，很多參數并不確定，是隨機分布的，滿足一定 的分布函數。由此導出的目標函數和約束分布函數并非完全是 確定性的。隨機優化的目的是求出滿足可行性健壯性的最優 解，也就是滿足特定的可靠性目標的最優解。

（6）田口方法。

是健壯設計方法中最著名的方法。利用正交表設計，對工 程模型進行試驗，這樣產生的新模型是一線性模型，用來在設 計空間內找到新的點來最小化、最大化或保持性能目標函數， 而同時使不可控制噪聲最小化。

2.2基于靈敏度分析的健壯設計

靈敏度導數是指目標函數和設計變量對所研宄的參變量 的求導。Belegundu等研宄了通過極小化靈敏度來實現健壯 設計，即在設計階段就通過選擇適當的變量，使產品的質量對 不確定性因素的敏感性最小，使產品具有健壯性。基于靈敏度 分析的健壯性設計，可以稱之為“狹義”的健壯性設計方法，主 要是利用靈敏度信息對優化以后的結果進行分析，使其具有健 壯性。在優化中考慮靈敏度，使約束條件對設計參數的靈敏度極小化。

計算目標函數和約束對參變量的導數,最直接方法是有限差分法。用一階近似的前向差分格式表達導數的一般格式為：

2.3健壯性設計的模型

根據前面分析，在健壯性設計中可有兩種途徑來考慮靈敏 度分析所起的作用:加入靈敏度分析產生的附加約束條件和加 入靈敏度分析產生的附加目標函數。

可以用下列方法施加基于靈敏度的約束:對靈敏度設置 上限;對靈敏度的最大值設置上限；對靈敏度的平方和設置約 束;對目標函數的靈敏度超過一特定值的概率加約束。

考慮到地磅結構分析工作量大，而優化設計模型本身卻 較簡單，可通過對靈敏度設置上限施加基于靈敏度的約束。

3.地磅秤臺結構優化設計結果

根據前面所述方法完成對地磅的優化設計。優化前后 汽車衡u型鋼尺寸及應力、位移情況匯總見表1。表中優化設 計的結果己經過圓整，此時優化模型中目標函數和主要約束的 靈敏度見表 2。

可見優化后結構的最大應力和位移雖都有所上升，但仍滿 足設計約束，而且各工況下最大應力比較接近，說明鋼材得到 了較充分的利用。優化后節省鋼材約274 kg占原結構的6%。 另外從分過程知，汽車衡結構設計的主要控制條件是秤臺面 的剛度要求。同時，設計得到的尺寸能使結構承受較大的內部 和外部變異的影響，而保持使用性能基本不變，使設計具有健 壯性。從靈敏度分析可以看出，目標函數和部分約束對端板厚 度變化敏感，互相制約。從優化計算的結果發現端板厚度變化 不明顯，可以酌情處理為常量，這樣可簡化優化模型，加快尋找 最優點的速度。

4.結論

健壯性設計使設計在滿足原有的目標函數的前提下，盡可 能使由于可控因素或不可控因素的變異造成系統的變異極小 化，這樣得到的解能保證在系統受到內在因素或外界因素干擾 的情況下，仍能保持良好的性能。得到健壯性設計的解以后， 在后期的詳細設計階段對產品的參數在小范圍調整時，不需要 或較少需要對系統的性能重新校驗，節約了設計的時間和人力 資源。